函数本身当然不仅仅是一个抽象的概念,它还有一系列的要素和性质需要我们一一去把握.

首先我们要明白,函数有许多的表示方法:列表法;解析法;图像法等,为什么说等呢?因为还有许多的函数关系并不能用以上三种方法表示.许多的统计报表,数学用表,其实就是用列表法来表示的函数关系,解析法就是用等式y=f(x)来表示的函数关系,这是我们现阶段研究最多的一类函数,像分别用等式y=kx(k≠0),y=k/x(k≠0),y=kx+b(k≠0),y=ax^2+bx+c(a≠0)来表示正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数．而图像法就更多了，证券公司的显示屏上的升降趋势曲线，用来表示各年人口出生率的变化曲线，等等．

【资料图】

函数有三要素：定义域，值域和对应法则，通常可表示为ｆ：Ａ→Ｃ，Ａ代表定义域，Ｃ代表值域，ｆ指的是对应法则，函数就是建立在两个非空数集A,C上的一种对应关系,对于一个具体的函数关系,首先应考虑它的定义域,也就是我们要把握一个重要的原则:定义域优先.为了让大家掌握函数的三要素,就有判别两个等式是否表示同一函数的问题:如y=x与y=a^logax;y=x+1与y=(x^2-1)/(x-1).解决这类问题关键是从定义域和对应法则及值域入手,准确区分,要特别注意一些细节,如自变量能否等于0等等.

函数的定义域有以下几个常见要求:

1,分式的分母不等于0;

2,偶次根式的被开方式非负;

3,0不能做0次幂的底数;

4,对数的真数大于0,其底数大于0且不等于1;

5,对于由实际问题得到的函数,还要使其自变量有实际意义,如距离要大于0等.

考试中题目常常不会单一考查,而是将以上几种情形结合在一起来考查,所以一定要注意分清各种情形,才能全面把握,防止出错.如让偶次根式来做分母,或把分母含有自变量的分式放进偶次根号中,等等.由上述情形也可以看出,求函数的定义域其实就是解不等式组,这大概就是为什么在第一章就要学习解简单不等式的原因了.这里的问题的关键变成了如何保证找出应该考虑的所有不等式,然后才涉及准确求解不等式的集合这样的细节问题.这也许就是为何一进入高中首先就要学习集合理论的原因所在了.这也可以看出数学的严密性了,一环套一环,层层推进,少一个环节也不行,为什么数学课使许多人感到头大,这可能是缘由之一,老师教得费劲,学生学得吃力,成绩往往不如人意.

另外就是有一类关于复合函数定义域的问题:

设函数f(x)的定义域是[-2,9),则函数f(x+2)的定义域是＿＿.这类问题考查的是函数的定义域,解决它要利用整体代换的思想,这里的x+2代替了前面的x,因此它的范围就是x的范围,即-2≤x+2＜9,解之得-4≤x＜7,所以这里应填[-4,7).但从学生解答的情况来看,出错的几率相当大.有的人分不清所求的定义域究竟是x的范围还是x+2的范围,关键的原因还是对函数的概念理解不到位.如果把这道题改为:设函数f(x+2)的定义域是[-2,9),则函数f(x)的定义域是＿＿.这里看来,似乎与上面的题目区别不大,但实质却大相径庭,因为后者的x代替的是前面的x+2这个整体,所以我们必须搞清楚前者x+2的范围,才能知道x的范围.于是可以这样来解答:由题知-2≤x＜9则0≤x+2＜11即0≤x＜11,可见应填[0,11).

再来说求函数值域的问题.这一直是高中数学函数知识的难点所在,许多人到了高三还是没有完全搞明白求值域的问题.虽然各种具体函数的值域记得很清楚.如:

正比例函数y=kx(k≠0)的值域为(-∞,+∞);

反比例函数y=k/x(k≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);

一次函数值域为(-∞,+∞);

对二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0),当a>0时,值域为((4ac-b^2)/4a,+∞);当a<0时,值域为(-∞,(4ac-b^2)/4a).

这里对二次项系数a的符号的判断成为许多问题解决中的重要前提.也常常成为命题者设置陷阱的地方,如

不等式(m^2-2m-3)x^2-(m-3)x-1<0的解集为R,求m的取值范围.

很容易想到m^2-2m-3<0且△<0,但这却不是命题者的唯一目的,因为题目并未告诉说这是二次不等式,也即有可能m^2-2m-3=0,再加上m-3=0,原不等式变成了-1<0,的确对任意的x∈R都成立.可见,这里的二次项系数是否等于0成了我们对问题理解的关键.

我们后来学习的指数函数y=a^x(a>0且a≠1)的值域为(0,+∞);对数函数y=loga^x(a>0且a≠1)的值域为(-∞,+∞).前者的函数值恒大于0,经常成为许多复合函数问题中的隐含条件,如

求函数y=4^x+2^(x+1)-1的值域.

经过变形可得y=(2^x+1)^2-2,是关于2^x的二次函数,容易误认为答案是[-2,+∞),实际上,因为2^x>0,这个关于2^x的二次函数根本取不到自身的最小值-2,只要令t=2^x,注意到t∈(0,+∞),y=(t+1)^2-2,问题变成了在给定区间(0,+∞)上求二次函数的值域,是常规问题.分析区间与对称轴的位置关系知,函数在此区间上递增,故值域为(-1,+∞).

关于求函数的值域有这样的几种方法:

1,分离常数法,如y=(x-1)/(x+1),可变形为y=1-2/(x+1),易知函数值域为(-∞,1)∪(1+∞).

2,判别式法,如y=(x^2+2x-1)/(x^2+x+1),注意到分母x^2+x+1恒不为0,函数式可变形为(y-1)x^2+(y-2)x+(y+1)=0,当y=1时对应的x=1/2;当y≠1时,关于x的二次方程有实数根(为什么?请读者自己思考),于是△≥0,即(y-2)^2-4(y-1)(y+1)≥0,整理得3y^2+4y-8≤0,解之即得此时的范围,将y=1和y≠1两种情形的y的范围求并集可得所求值域.注意到这类题目虽然是分式形式,但定义域常常是R,否则问题就更复杂了,这里不再赘述.

3,反函数法,如y=(2^x-1)/(2^x+1),可将其变形为2^x=(1+y)/(1-y),因为2^x>0,所以(1+y)/(1-y)>0,得到y∈(0,1)为所求.

4,单调性法,如y=2x-√2-x,注意到2x和-√2-x同为区间(-∞,2]上的增函数,易知函数值域为(-∞,4].这种方法对于不同类函数组合成的函数尤其有效,大家应准确把握.

5,换元法,如上面的例题,令t=√2-x,则t∈[0,+∞),而y=2t^2-t+4,配方得y=-2(t+1/4)^2+33/8,问题转化为在给定区间上求二次函数值域.

(2006-12-08 12:25:28)

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